寻根探源，只为一个高考题的本质 ——探究20

题1：（2018年全国新课标高考卷Ⅰ理数19题）设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）. （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB. 分析：在2018年全国高考卷Ⅰ理科数学试卷里，我很确信广大考生在第19题看到此道解析几何题的惊喜绝对多于在第20题看到概率题的惊讶，惊喜的是这道解析几何题无论从题干还是设问都是那样亲切和熟悉，仿佛还在昨天最后一张模拟试卷中遇到过，此类习题是考生在高考备考中的常规训练，也是必须掌握的基本知识技能. 解析：（1）略. （2）当l 与x 轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，直线MA，MB的斜率之和为kMA+kMB=. 由y1=kx1-k，y2=kx2-k 得kMA+kMB=. 将y=k（x-1）代入+y2=1，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0. 所以，x1+x2=. 则2kx1x2-3k（x2+x2）+4k==0. 从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB. 综上，∠OMA=∠OMB. 点评：此题的解法简洁明了，所体现的数学思维不复杂，在常规计算的基础上重在把∠OMA=∠OMB转化为kMA+kMB=0，体现解析几何的坐标法思想本质和价值功能，即用解析的思想处理数学问题，突出主干知识的本质考查，基本可以达到区分和选拔考生的效果.在选择设直线方程时可以有y=k（x-1）（k≠0）和x=my+1两种情形，都是对考生理解相关知识的考查，具有方法选择性，较好地体现了对学科核心素养的考查. 题2：（2015年全国高考新课标Ⅰ理数卷20题）如图1，在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点， （1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； 图1 （2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. 分析：题2和题1的共同点都是一条斜率变化的动直线，不同之处是所过点有定点和动点之分，题1是过定点M（2，0），而题2是在y轴上探索一点P，属于探索性问题，两题目设问有所不同，但解题思路和方法在本质上完全一样. 解析：（1）略. （2）存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为符合题意的点，M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0. 所以x1+x2=4k，x1x2=-4a. 从而 k1+k2=. 当b=-a时，有k1+k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-a）符合题意. 通过对以上两道高考题的解法研究分析，我们清楚地知道呈现在我们面前的是经过高考命题专家设计和改动后的试题，这两道高考题看起来很平常，实际上背景非常丰富，有一定的难度和区分度，同时也有很大的教学价值和研究空间，试问这一类题目的原本面目是什么呢？不妨我们一起做一个寻根探源活动，通过探究活动去还原它们本来的模样. 探究一：如图2，已知椭圆=1（a＞b＞0）及A（m，0）（其中＜a），B（，0），直线l过点A且与椭圆交于不同的两点P，Q，求证：∠OBP=∠OBQ. 解析：设直线y=k（x-m）（k≠0）. 当直线l垂直于x轴时， 由对称性得∠OBP=OBQ. 图2 当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x-m）（k≠0），代入=1， 整理得（a2k2+b2）x2-2ma2k2x+a2（k2m2-b2）=0. 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由韦达定理得x1+x2=，x1x2=， 故 k1+k2==［（x1-m）（x2-）+（x1-）（x2-m）］=·［2x1x2-·==0，所以∠OBP=∠OBQ. 所以命题成立. 探究二：如图3，已知y2=2px（p＞0）及A（m，0）（其中m＞0），B（-m，0），直线l过A且与抛物线交于不同的两点P，Q，求证：∠OBP=∠OBQ. 图3 解析：当直线l垂直于x轴时，由对称性得∠OBP=∠OBQ. 当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x-m）（k≠0），代入y2=2px， 整理得k2x2-（2k2m+2p）x+k2m2=0. 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由韦达定理得x1+x2=，x1x2=m2， 故 k1+k2===0.所以∠OBP=∠OBQ. 所以命题成立. 探究三：已知双曲线=1（a＞0，b＞0）及A（m，0）（其中＞a），B（，0），直线l过点A且与双曲线交于不同的两点P，Q，求证：∠OBP=∠OBQ. 同样的结论在双曲线中也成立，解析过程略. 通过对以上探究一、二、三的解析过程不难发现这两道高考试题的“根”和“源”，只要在圆锥曲线内部存在一点A（m，0）且过该点与曲线相交于两点P，Q，则点A所在的轴上一点），一定有结论∠OBP=∠OBQ成立. 试想如果我们把探究一、二、三中的点）进一步推广为直线上任意一点，又是怎样的结果呢？我们再做以下探究活动，可以让探究活动更加丰富. 探究四：如图4，已知椭圆=1（a＞b＞0）及A（m，0），）（其中≠a），直线l过点A且与椭圆交于不同的两点P，Q，设直线PB，AB，QB的斜率分别是k1，k0，k2，请探究k1，k0，k2具备什么等量关系？ 图4 解析：先从特殊情况考虑入手，猜想结论再证明. 当直线l垂直于x轴时，设P（m，y1），Q（m，-y1）， 则k1==， 由k1+k2=，而k0=， 故有k1+k2=2k0. 猜想当直线l不垂直于x轴时，也有结论k1+k2=2k0，下面证明结论成立. 设直线l的方程为y=k（x－m）（k≠0），代入=1， 整理得（a2k2+b2）x2－2ma2k2x+a2（k2m2－b2）=0. 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由韦达定理得x1+x2=，x1x2=， 因为. 又因为·［m2（m2k2－b2－2a2k2）+a2（a2k2+b2）］=·（a2k2+b2－m2k2）（a2－m2）. 故k1+k2=. 从而得到关系式k1+k2=2k0，猜想成立. 探究五：已知双曲线=1（a＞0，b＞0）及A（m，0），（其中≠a），直线l过点A且与双曲线交于不同的两点P，Q，设直线PB，AB，QB的斜率分别是k1，k0，k2，请探究k1，k0，k2具备什么等量关系？ 探究六：已知抛物线y2=2px（p＞0）及A（m，0），B（－m，n）（其中m≠0），直线l过点A且与抛物线交于不同的两点P，Q，设直线PB，AB，QB的斜率分别是k1，k0，k2，请探究k1，k0，k2具备什么等量关系？ 通过探究解析同样不难得出k1+k2=2k0，证明过程略. 从一个看似简单熟悉的试题，通过一系列的探究活动发现它具有如此复杂而又神奇的背景，其本质显得那样丰富和美妙，这就要求我们在进行学生解题活动中，不仅要求学生理解题目中所包含的知识的基本概念和结论的本质，而且还要了解概念和结论产生的背景、过程，最重要地是从探究活动入手，尝试深入地变式思考，体会其中蕴含的数学思想方法.在平时的教学活动中，我们要注重对一些经典的、具有代表性的知识点的拓展延伸，尤其是对教材中出现的某些问题、模拟试卷中经常考查的数学模型，在弄清这些知识的发生、发展后，要及时加以整理归纳，形成知识体系，构建变式模型，拓展探究活动，挖掘试题本质，有意识地寻根探源，通过探究让学生理解掌握，逐步形成“条件反射”，从而在具体数学问题的情景中灵活应用.只要在解题活动中不断地寻根探源，我们就不会仅仅只是为了一道高考题，最终我们收获的将是一片习题的“森林”. 题1：（2018年全国新课标高考卷Ⅰ理数19题）设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.分析：在2018年全国高考卷Ⅰ理科数学试卷里，我很确信广大考生在第19题看到此道解析几何题的惊喜绝对多于在第20题看到概率题的惊讶，惊喜的是这道解析几何题无论从题干还是设问都是那样亲切和熟悉，仿佛还在昨天最后一张模拟试卷中遇到过，此类习题是考生在高考备考中的常规训练，也是必须掌握的基本知识技能.解析：（1）略.（2）当l 与x 轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，直线MA，MB的斜率之和为kMA+kMB=.由y1=kx1-k，y2=kx2-k 得kMA+kMB=.将y=k（x-1）代入+y2=1，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0.所以，x1+x2=.则2kx1x2-3k（x2+x2）+4k==0.从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.综上，∠OMA=∠OMB.点评：此题的解法简洁明了，所体现的数学思维不复杂，在常规计算的基础上重在把∠OMA=∠OMB转化为kMA+kMB=0，体现解析几何的坐标法思想本质和价值功能，即用解析的思想处理数学问题，突出主干知识的本质考查，基本可以达到区分和选拔考生的效果.在选择设直线方程时可以有y=k（x-1）（k≠0）和x=my+1两种情形，都是对考生理解相关知识的考查，具有方法选择性，较好地体现了对学科核心素养的考查.题2：（2015年全国高考新课标Ⅰ理数卷20题）如图1，在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点，（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；图1（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.分析：题2和题1的共同点都是一条斜率变化的动直线，不同之处是所过点有定点和动点之分，题1是过定点M（2，0），而题2是在y轴上探索一点P，属于探索性问题，两题目设问有所不同，但解题思路和方法在本质上完全一样.解析：（1）略.（2）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.所以x1+x2=4k，x1x2=-4a.从而 k1+k2=.当b=-a时，有k1+k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-a）符合题意.通过对以上两道高考题的解法研究分析，我们清楚地知道呈现在我们面前的是经过高考命题专家设计和改动后的试题，这两道高考题看起来很平常，实际上背景非常丰富，有一定的难度和区分度，同时也有很大的教学价值和研究空间，试问这一类题目的原本面目是什么呢？不妨我们一起做一个寻根探源活动，通过探究活动去还原它们本来的模样.探究一：如图2，已知椭圆=1（a＞b＞0）及A（m，0）（其中＜a），B（，0），直线l过点A且与椭圆交于不同的两点P，Q，求证：∠OBP=∠OBQ.解析：设直线y=k（x-m）（k≠0）.当直线l垂直于x轴时，由对称性得∠OBP=OBQ.图2当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x-m）（k≠0），代入=1，整理得（a2k2+b2）x2-2ma2k2x+a2（k2m2-b2）=0.设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，故 k1+k2==［（x1-m）（x2-）+（x1-）（x2-m）］=·［2x1x2-·==0，所以∠OBP=∠OBQ.所以命题成立.探究二：如图3，已知y2=2px（p＞0）及A（m，0）（其中m＞0），B（-m，0），直线l过A且与抛物线交于不同的两点P，Q，求证：∠OBP=∠OBQ.图3解析：当直线l垂直于x轴时，由对称性得∠OBP=∠OBQ.当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x-m）（k≠0），代入y2=2px，整理得k2x2-（2k2m+2p）x+k2m2=0.设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由韦达定理得x1+x2=，x1x2=m2，故 k1+k2===0.所以∠OBP=∠OBQ.所以命题成立.探究三：已知双曲线=1（a＞0，b＞0）及A（m，0）（其中＞a），B（，0），直线l过点A且与双曲线交于不同的两点P，Q，求证：∠OBP=∠OBQ.同样的结论在双曲线中也成立，解析过程略.通过对以上探究一、二、三的解析过程不难发现这两道高考试题的“根”和“源”，只要在圆锥曲线内部存在一点A（m，0）且过该点与曲线相交于两点P，Q，则点A所在的轴上一点），一定有结论∠OBP=∠OBQ成立.试想如果我们把探究一、二、三中的点）进一步推广为直线上任意一点，又是怎样的结果呢？我们再做以下探究活动，可以让探究活动更加丰富.探究四：如图4，已知椭圆=1（a＞b＞0）及A（m，0），）（其中≠a），直线l过点A且与椭圆交于不同的两点P，Q，设直线PB，AB，QB的斜率分别是k1，k0，k2，请探究k1，k0，k2具备什么等量关系？图4解析：先从特殊情况考虑入手，猜想结论再证明.当直线l垂直于x轴时，设P（m，y1），Q（m，-y1），则k1==，由k1+k2=，而k0=，故有k1+k2=2k0.猜想当直线l不垂直于x轴时，也有结论k1+k2=2k0，下面证明结论成立.设直线l的方程为y=k（x－m）（k≠0），代入=1，整理得（a2k2+b2）x2－2ma2k2x+a2（k2m2－b2）=0.设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，因为.又因为·［m2（m2k2－b2－2a2k2）+a2（a2k2+b2）］=·（a2k2+b2－m2k2）（a2－m2）.故k1+k2=.从而得到关系式k1+k2=2k0，猜想成立.探究五：已知双曲线=1（a＞0，b＞0）及A（m，0），（其中≠a），直线l过点A且与双曲线交于不同的两点P，Q，设直线PB，AB，QB的斜率分别是k1，k0，k2，请探究k1，k0，k2具备什么等量关系？探究六：已知抛物线y2=2px（p＞0）及A（m，0），B（－m，n）（其中m≠0），直线l过点A且与抛物线交于不同的两点P，Q，设直线PB，AB，QB的斜率分别是k1，k0，k2，请探究k1，k0，k2具备什么等量关系？通过探究解析同样不难得出k1+k2=2k0，证明过程略.从一个看似简单熟悉的试题，通过一系列的探究活动发现它具有如此复杂而又神奇的背景，其本质显得那样丰富和美妙，这就要求我们在进行学生解题活动中，不仅要求学生理解题目中所包含的知识的基本概念和结论的本质，而且还要了解概念和结论产生的背景、过程，最重要地是从探究活动入手，尝试深入地变式思考，体会其中蕴含的数学思想方法.在平时的教学活动中，我们要注重对一些经典的、具有代表性的知识点的拓展延伸，尤其是对教材中出现的某些问题、模拟试卷中经常考查的数学模型，在弄清这些知识的发生、发展后，要及时加以整理归纳，形成知识体系，构建变式模型，拓展探究活动，挖掘试题本质，有意识地寻根探源，通过探究让学生理解掌握，逐步形成“条件反射”，从而在具体数学问题的情景中灵活应用.只要在解题活动中不断地寻根探源，我们就不会仅仅只是为了一道高考题，最终我们收获的将是一片习题的“森林”.

文章来源：《试题与研究》 网址: http://www.styyjzz.cn/qikandaodu/2020/0528/331.html