小题更需要精致^* ——以一道2019年浙江

在考查学生对一些概念理解、错误辨析、知识联系等问题时，学生难于表达说理，往往采用选择题的形式.各选项呈现的信息，有着迷惑、干扰的作用，更能有效考查学生联系知识、解决问题时所体现的数学思考.因此，选择题虽“小”，但在命制时还是需要在真实的学习情境中让学生运用所学知识进行合理分析、合情推理、甄别辨析，体现对学生探究能力、实践能力和创新能力等数学素养的考查[1].现将2019年浙江省金华市数学中考试题第10题的命制过程及思考整理成文，对如何考查数学核心素养作一些有益探索. 1 素材追溯 根据试卷双向细目表，选择题最后一题将设计为几何操作类问题，让学生经历以“操作、发现、猜想和验证”为活动主线的探究过程，考查学生对知识的应用能力，达到适度区分的目的.为此，在查阅教材后，选择了浙教版《数学》八年级下册“5.3 正方形”中的卷首引导语和练习题作为研究起点. 图1 素材1给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如图1所示的正方形吗？ 图2 素材2将一张正方形纸片按如图2中的步骤①②，沿虚线对折2次，然后沿图③的虚线剪去一个角，展开铺平后得到图形是 A. B. C. D. 2 素材分析 选择该素材进行研究的原因有：一是折叠、裁剪情景都为学生所熟悉，折叠正方形能够让学生经历以“操作、发现、猜想和验证”为活动主线的探究过程；二是折叠后利用图形的全等可以灵活实现边、角的等量转化，折叠方法、裁剪方式的多样性使得图形更为丰富多彩；三是正方形背景下的折叠，其图形特点可以综合应用直角三角形、相似三角形以及勾股定理等知识内容，实现核心知识的有效整合. 3 编制历程 在素材2的基础上再折叠一次，沿虚线剪开，对展开图的可能情况进行判断，形成第1稿. 图3 第1稿将一张正方形纸片按如图3所示的步骤①②③，通过折叠得到图④，在CA,CB上各取一点连成如图④所示虚线，沿该虚线剪去一个角，展开铺平后得到的图形不可能是 A. B. C. D. 诊断分析答案为D.这是折叠操作后对展开图的判断，求解时需要在各个选项中画出图④所示的基础三角形，内容丰富，选项A，B,C有一定的干扰.但如果学生凭着经验从选项C，D先判断，就缺少了对前几个选项图形的分析，又或者学生借助操作得到答案，那么就失去了考查的效度.因此，尝试给出一定的数量关系，结合计算后的判断，形成第2稿. 图4 第2稿将一张正方形纸片按如图4所示的步骤①②，沿虚线对折2次，然后沿图③的虚线剪去一个角，展开铺平后得到图④.若图③中OC=CB,∠ODC=30°，则四边形EFGH与原正方形纸片的面积比为 诊断分析利用三角形的面积公式，得到 在求解过程中，缺少了对四边形EFGH的结构形状的判断与思考，从考查联系的知识看，比较单一，对几何直观、逻辑推理的考查力度不够，于是尝试改变折叠的方法，形成第3稿. 图5 第3稿将一张正方形纸片按如图5所示的步骤①②，对折2次，然后沿图③的虚线剪去一个角，展开铺平后得到图④.若四边形EFGH是正方形，图①中∠α=60°，则结论：1)∠EMB=60°；2)图③中剪去的一个角是一个等腰直角三角形；3)EM=FN=GP=HQ;4)图④中的4个五边形都全等，并且与正方形EFGH的面积相等.其中正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 诊断分析图①到图②的折叠，得出互相垂直的直线，其背景学生比较熟悉.在此基础上进一步提出问题，能够培养学生继续探究的习惯，体现了很好的教学导向.几个结论的设置都能联系折叠中的图形变化，让学生关注折叠过程中的对应、全等关系,联系折叠的不变性来解决问题，这样能够很好地考查学生对折叠问题掌握的深刻程度. 图6 但是，如果在图④中画出四边形OQDP(如图6)，就容易判断给出4个结论的正确与否，虽然4个结论内容丰富，有一定的干扰，但题干中4个结论的判断是相互独立的.若学生选择答案C，则会出现多种组合，即出现过程错误而答案正确这种情况，影响该题的考查效度.基于以上的思考，关注到图5④中5个图形之间的面积关系，形成第4稿. 第4稿如图5，将一张边长为30的正方形纸片按如图5所示步骤①②，对折2次，然后沿图③的虚线剪去一个角，展开铺平后得到图④.若图①中∠α=60°，正方形EFGH与五边形MEFNB的面积相等，则折痕EM的长为 图7 诊断分析如图7，正方形ABCD的面积是正方形EFGH的5倍，得出 过点O作OT⊥AB于点T,在Rt△OMT中，可以求出从而 求解时综合应用了图形的面积、三角函数以及勾股定理等知识，但思路方法单一.继续探索改变折叠的方法，保持本方案中5个图形的面积相等，尝试给出一定的条件,来探究图形中各个线段之间的关系，形成第5稿. 图8 第5稿(定稿)将一张正方形纸片按如图8所示的步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，FM,GN为折痕.若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是 诊断分析修改后的试题关注了展开图与原图形的联系与变化，无论从原图形(图①)出发画出折叠的痕迹，或从图④出发还原成展开图，还是从展开图(图⑤)出发补充折痕，都能找到求解的思路.具体解法有： 解法1如图9，设OF=x,FM=y,则四边形EFGH的面积为 五边形MCNGF的面积为 从而 解得 故 图9 图10 解法2如图10，设OF=x,根据 得到 从而 解法3如图10，联结MN,则 从而 利用相似三角形的性质得到 设故 解法4由得出对应边长的比为设GF=2t,则从而 故 图11 解法5如图11,联结OA，找出图8④中对应的△OAQ，由于裁剪得到的是正方形，从而HE⊥OA于点P,根据△OPE∽△OAQ,得到 即 故 4 命题反思 该试题的编制过程采用“选择学习情境，研究探究方向，设计多种选项”的方法，通过不断尝试，形成试题，这给编制数学选择试题带来很多启发. 4.1 选择学习情境 为了实现对学生核心素养的真正考查，需要选择一个蕴含数学知识、具有良好数学结构的学习情境.让学生自然融入其中，在辨析、推理、计算验证的过程中，激活学生自身储备的数学知识和数学能力.本题以正方形的折叠为学习情境，来自教材中的折叠操作，为学生所熟悉，可以确保情境的公平性.给出折叠过程的示意图，为学生提供了探究、发现和思考的空间，很好地考查了学生对折叠相关知识的理解、掌握和灵活运用的程度.只要学生结合文字信息，利用图中所蕴含的等量关系，用几何直观进行图形描述和分析问题即可解决，考查学生的空间观念、空间想象与活动经验的同时，突出对数形结合思想与合情推理能力的重视[2]. 4.2 精心设置选项 图12 为了甄别学生思维过程中的水平与差异，考查学生对相关知识掌握的精确程度，需要非常重视各选项的设计.本题中各选项的设置都是基于学生在对折与展开的联系中可能发生的错误，以增加选项的干扰性和迷惑性.如有学生会错误地认为图9中点E,F,G,H分别是各边的中点，设OF=FM=t,得到从而得到错误的答案或如图12，有学生会错误地认为△NCG,△CPG,△CPF与△CFM这4个三角形都全等，得出FM=FP=PG=GN,从而得到错误的答案等. 4.3 落实核心素养 实验操作是培养学生观察想象和逻辑思维能力的重要载体，通过观察操作中的现象，猜想、验证自己的结论.本题以折叠操作的活动过程构成问题情境，全面考查正方形、直角三角形以及三角形全等、三角形相似、勾股定理等相关知识，这些知识的考查不是直接呈现的，而是隐藏在一个简洁的对折与展开互相联系的图形中，需要对图形不断提炼，根据图形特点联系知识，利用这些图形之间的全等、相似等关系，寻找边之间的数量关系，从而转化为方程使问题得到有效解决，有效考查学生的直观想象、数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算等所体现的核心素养.在画出图形求解过程中，不同的学生有不同的理解角度、不同的感悟，选择的方法就会各显特色.如在解法5中，找出图11中的△OAQ，判断出PE⊥OA后，若设PE=t,则利用两个三角形相似就较易得到结果，这样可以有效甄别直观想象、逻辑推理以及数学运算的不同水平. [1] 教育部基础教育课程教材专家委员会．《义务教育数学课程标准(2011年版)》解读 [M]．北京：北京师范大学出版社，2012. [2] 傅瑞琦.弯弓射箭 考出素养：2018年浙江省金华市数学中考第16题PISA类试题的设计[J]．中学教研(数学)，2018(12)：39-41. 在考查学生对一些概念理解、错误辨析、知识联系等问题时，学生难于表达说理，往往采用选择题的形式.各选项呈现的信息，有着迷惑、干扰的作用，更能有效考查学生联系知识、解决问题时所体现的数学思考.因此，选择题虽“小”，但在命制时还是需要在真实的学习情境中让学生运用所学知识进行合理分析、合情推理、甄别辨析，体现对学生探究能力、实践能力和创新能力等数学素养的考查[1].现将2019年浙江省金华市数学中考试题第10题的命制过程及思考整理成文，对如何考查数学核心素养作一些有益探索.1 素材追溯根据试卷双向细目表，选择题最后一题将设计为几何操作类问题，让学生经历以“操作、发现、猜想和验证”为活动主线的探究过程，考查学生对知识的应用能力，达到适度区分的目的.为此，在查阅教材后，选择了浙教版《数学》八年级下册“5.3 正方形”中的卷首引导语和练习题作为研究起点.图1素材1给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如图1所示的正方形吗？图2素材2将一张正方形纸片按如图2中的步骤①②，沿虚线对折2次，然后沿图③的虚线剪去一个角，展开铺平后得到图形是( )A. B. C. D.2 素材分析选择该素材进行研究的原因有：一是折叠、裁剪情景都为学生所熟悉，折叠正方形能够让学生经历以“操作、发现、猜想和验证”为活动主线的探究过程；二是折叠后利用图形的全等可以灵活实现边、角的等量转化，折叠方法、裁剪方式的多样性使得图形更为丰富多彩；三是正方形背景下的折叠，其图形特点可以综合应用直角三角形、相似三角形以及勾股定理等知识内容，实现核心知识的有效整合.3 编制历程在素材2的基础上再折叠一次，沿虚线剪开，对展开图的可能情况进行判断，形成第1稿.图3第1稿将一张正方形纸片按如图3所示的步骤①②③，通过折叠得到图④，在CA,CB上各取一点连成如图④所示虚线，沿该虚线剪去一个角，展开铺平后得到的图形不可能是( )A. B. C. D.诊断分析答案为D.这是折叠操作后对展开图的判断，求解时需要在各个选项中画出图④所示的基础三角形，内容丰富，选项A，B,C有一定的干扰.但如果学生凭着经验从选项C，D先判断，就缺少了对前几个选项图形的分析，又或者学生借助操作得到答案，那么就失去了考查的效度.因此，尝试给出一定的数量关系，结合计算后的判断，形成第2稿.图4第2稿将一张正方形纸片按如图4所示的步骤①②，沿虚线对折2次，然后沿图③的虚线剪去一个角，展开铺平后得到图④.若图③中OC=CB,∠ODC=30°，则四边形EFGH与原正方形纸片的面积比为( )诊断分析利用三角形的面积公式，得到在求解过程中，缺少了对四边形EFGH的结构形状的判断与思考，从考查联系的知识看，比较单一，对几何直观、逻辑推理的考查力度不够，于是尝试改变折叠的方法，形成第3稿.图5第3稿将一张正方形纸片按如图5所示的步骤①②，对折2次，然后沿图③的虚线剪去一个角，展开铺平后得到图④.若四边形EFGH是正方形，图①中∠α=60°，则结论：1)∠EMB=60°；2)图③中剪去的一个角是一个等腰直角三角形；3)EM=FN=GP=HQ;4)图④中的4个五边形都全等，并且与正方形EFGH的面积相等.其中正确的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个诊断分析图①到图②的折叠，得出互相垂直的直线，其背景学生比较熟悉.在此基础上进一步提出问题，能够培养学生继续探究的习惯，体现了很好的教学导向.几个结论的设置都能联系折叠中的图形变化，让学生关注折叠过程中的对应、全等关系,联系折叠的不变性来解决问题，这样能够很好地考查学生对折叠问题掌握的深刻程度.图6但是，如果在图④中画出四边形OQDP(如图6)，就容易判断给出4个结论的正确与否，虽然4个结论内容丰富，有一定的干扰，但题干中4个结论的判断是相互独立的.若学生选择答案C，则会出现多种组合，即出现过程错误而答案正确这种情况，影响该题的考查效度.基于以上的思考，关注到图5④中5个图形之间的面积关系，形成第4稿.第4稿如图5，将一张边长为30的正方形纸片按如图5所示步骤①②，对折2次，然后沿图③的虚线剪去一个角，展开铺平后得到图④.若图①中∠α=60°，正方形EFGH与五边形MEFNB的面积相等，则折痕EM的长为( )图7诊断分析如图7，正方形ABCD的面积是正方形EFGH的5倍，得出过点O作OT⊥AB于点T,在Rt△OMT中，可以求出从而求解时综合应用了图形的面积、三角函数以及勾股定理等知识，但思路方法单一.继续探索改变折叠的方法，保持本方案中5个图形的面积相等，尝试给出一定的条件,来探究图形中各个线段之间的关系，形成第5稿.图8第5稿(定稿)将一张正方形纸片按如图8所示的步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，FM,GN为折痕.若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是( )诊断分析修改后的试题关注了展开图与原图形的联系与变化，无论从原图形(图①)出发画出折叠的痕迹，或从图④出发还原成展开图，还是从展开图(图⑤)出发补充折痕，都能找到求解的思路.具体解法有：解法1如图9，设OF=x,FM=y,则四边形EFGH的面积为五边形MCNGF的面积为从而解得故图9 图10解法2如图10，设OF=x,根据得到从而解法3如图10，联结MN,则从而利用相似三角形的性质得到设故解法4由得出对应边长的比为设GF=2t,则从而故图11解法5如图11,联结OA，找出图8④中对应的△OAQ，由于裁剪得到的是正方形，从而HE⊥OA于点P,根据△OPE∽△OAQ,得到即故4 命题反思该试题的编制过程采用“选择学习情境，研究探究方向，设计多种选项”的方法，通过不断尝试，形成试题，这给编制数学选择试题带来很多启发.4.1 选择学习情境为了实现对学生核心素养的真正考查，需要选择一个蕴含数学知识、具有良好数学结构的学习情境.让学生自然融入其中，在辨析、推理、计算验证的过程中，激活学生自身储备的数学知识和数学能力.本题以正方形的折叠为学习情境，来自教材中的折叠操作，为学生所熟悉，可以确保情境的公平性.给出折叠过程的示意图，为学生提供了探究、发现和思考的空间，很好地考查了学生对折叠相关知识的理解、掌握和灵活运用的程度.只要学生结合文字信息，利用图中所蕴含的等量关系，用几何直观进行图形描述和分析问题即可解决，考查学生的空间观念、空间想象与活动经验的同时，突出对数形结合思想与合情推理能力的重视[2].4.2 精心设置选项图12为了甄别学生思维过程中的水平与差异，考查学生对相关知识掌握的精确程度，需要非常重视各选项的设计.本题中各选项的设置都是基于学生在对折与展开的联系中可能发生的错误，以增加选项的干扰性和迷惑性.如有学生会错误地认为图9中点E,F,G,H分别是各边的中点，设OF=FM=t,得到从而得到错误的答案或如图12，有学生会错误地认为△NCG,△CPG,△CPF与△CFM这4个三角形都全等，得出FM=FP=PG=GN,从而得到错误的答案等.4.3 落实核心素养实验操作是培养学生观察想象和逻辑思维能力的重要载体，通过观察操作中的现象，猜想、验证自己的结论.本题以折叠操作的活动过程构成问题情境，全面考查正方形、直角三角形以及三角形全等、三角形相似、勾股定理等相关知识，这些知识的考查不是直接呈现的，而是隐藏在一个简洁的对折与展开互相联系的图形中，需要对图形不断提炼，根据图形特点联系知识，利用这些图形之间的全等、相似等关系，寻找边之间的数量关系，从而转化为方程使问题得到有效解决，有效考查学生的直观想象、数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算等所体现的核心素养.在画出图形求解过程中，不同的学生有不同的理解角度、不同的感悟，选择的方法就会各显特色.如在解法5中，找出图11中的△OAQ，判断出PE⊥OA后，若设PE=t,则利用两个三角形相似就较易得到结果，这样可以有效甄别直观想象、逻辑推理以及数学运算的不同水平.参 考 文 献[1] 教育部基础教育课程教材专家委员会．《义务教育数学课程标准(2011年版)》解读 [M]．北京：北京师范大学出版社，2012.[2] 傅瑞琦.弯弓射箭 考出素养：2018年浙江省金华市数学中考第16题PISA类试题的设计[J]．中学教研(数学)，2018(12)：39-41.

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