寻找相似的你 ——谈“同构式”在解题中的应

2020年高考已经落下帷幕,纵观各地的高考试卷,发现在全国理科一卷和全国文科二卷中出现了如下的两道题,它们涉及一个知识点——同构式.

试题1若2a+log2a=4b+2log4b,则( )

(A)a>2b(B)a<2b

(C)a>b2(D)a

试题2若2x-2y<3-x-3-y,则( )

(A)ln(y-x+1)>0

(B)ln(y-x+1)<0

(C)ln|y-x|>0

(D)ln|y-x|<0

这里说的同构式,指的是结构、形式相同的解析式.对于一个方程或不等式,经过适当变形、整理后,使其左、右两边表示成“结构相同”的式子,由此构造相应的函数,利用函数的单调性可使问题简便解决.

例如,在试题1中,将2a+log2a=4b+2log4b变形为2a+log2a=22b+log22b-1.构造函数f(x)=2x+log2x,利用f(x)在区间(0,+∞)单调增,可得a<2b,选B.在试题2中,2x-2y<3-x-3-y变形为2x-3-x<2y-3-y.构造函数g(x)=2x-3-x,由g(x)在R上单调增,可得x0成立,选A.

同构式在函数中的应用主要体现在方程和不等式的相关问题中,笔者以下从几个方面具体说明.

一、方程问题

例1函数的定义域和值域都是[m,n] (m

解因为f(x)在[m,n]单调增,且定义域和值域都是[m,n],所以故m,n是方程f(x)=x的两个不相等的根,即方程a2x2-(2a2+a)x+1=0有两个不相等的解(非零).于是Δ=(2a2+a)2-4a2>0,计算可得

评注由方程组中方程的同构性转换思维方向,将函数的定义域与值域问题转化为新方程解的存在性问题,揭示了问题的本质,简化了问题求解途径.

变式函数有且仅有2个零点,求实数m的取值范围.

提示令由在(0,+∞)单调减,可知x和t是一一对应的,问题等价于在(0,+∞)有两个零点.研究的图象,用零点存在性定理易知m>1.当然,本题也可将函数变形为令t=lnx+x∈(0,+∞)解决.

二、解不等式问题

例2已知cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ),θ∈[0,2π),求θ的取值范围.

解不等式变形可得cos5θ+7cos3θ

评注观察不等式的函数与结构特征再变形,是生成同构式的关键、构造函数的前提条件,由此利用函数单调性可顺利解题.

三、不等式恒成立问题

例3已知函数f(x)=aex-lnx-1.

(1)设x=2是f(x)的极值点,求a及f(x)的单调区间;

(2)证明:当时,f(x)≥0.

解(1)略.

(2)当时,要证f(x)≥0,只要证明即证ex≥eln(ex),即证xex≥exln(ex),即证exlnex≥exln(ex).构造函数g(x)=xlnx,只要证x>0时,g(ex)≥g(ex).

由g′(x)=lnx+1,易见g(x)在单调减,在单调增.于是,当时,g(ex)=xex>0,g(ex)=exln(ex)<0,恒有g(ex)≥g(ex)成立;当时,可证结合g(x)在单调增,得g(ex)≥g(ex)成立.

综上,当时,f(x)≥0.

评注本题也可将ex-lnx-1≥0变形为xex≥ln(ex)·eln(ex),构造函数g(x)=xex(x>0)解决.

例4已知函数若g(x)>f(x)对任意x∈(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.

解当a≥1时,对任意x∈(0,1),g(x)>0>f(x),g(x)>f(x)显然恒成立.

当a<1时,对任意x∈(0,1),g(x)>f(x)等价于x(x+lna)>aexlnx,即elnx(x+lna)>ex+lnalnx,亦即

令函数则在(-∞,1)恒成立,h(x)在(-∞,1)单调增,由x+lna<1,lnx<1,h(x+lna)>h(lnx),得x+lna>lnx, 即lna>lnx-x.又当x∈(0,1)时有lnx-x<-1,故lna≥-1,得即此时

综上,a的取值范围为

评注本题是一元变量的含参数不等式恒成立问题,常规思路求解较复杂.上述解题先观察可知a≥1时不等式显然成立,下面只要在a<1的条件下,由不等式恒成立再控制a的取值范围.求解时利用同构思路将不等式变形为构造函数使问题简便解决.另外,本题也可将题设不等式变形为构造函数来解决.

例5已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1 (a<-1),对任意x1,x2∈(0,+∞),恒有不等式|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立,求实数a的取值范围.

解由a<-1,可知在(0,+∞)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)单调减.不妨设0

令函数H(x)=f(x)+4x,则H(x1)≥H(x2),H(x)在(0,+∞)单调减,有H′(x)=(2ax2+4x+a+1)≤0在(0,+∞)恒成立,即2ax2+4x+a+1≤0在(0,+∞)恒成立.结合a<-1,可知方程2ax2+4x+a+1=0的Δ≤0,计算得a≤-2.

评注本题是二元不等式恒成立问题,求解的常规思路是首先根据f(x)的单调性对不等式进行去绝对值的操作,再由同构思想变形为f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,将二元函数问题通过构造函数H(x)=f(x)+4x减元,转化为一元函数最值问题进行求解.

纵观上述例题,不难发现此类题目实际上是命题者将原先形式明显、结构统一或者相似的问题经过加工、调整变成看似没有规律的复杂的问题.而解题者要做的工作就是还原题目的本质,使其天然去雕饰,清水出芙蓉.

文章来源：《试题与研究》 网址: http://www.styyjzz.cn/qikandaodu/2021/0204/992.html