理论联系实际深度探析试题

波利亚曾经说过：“数学的学习关键在于善于解题.” 数学教学的重要任务之一是通过提高学生的解题能力，有效地发展学生的数学思维.为了考查学生的知识掌握情况，检验学生的分析、推理、思维以及解题等综合能力，考试中常会出现一些灵活的试题，让不少学生望而却步.其实，在遇到解题障碍时，只要学会换个角度进行思考，不拘泥于一种方法，深究问题的本源，一定能找到解题的办法.教师可从多角度出发研究试题，充分演绎出经典例题的生命力，以让学生迸发出智慧的火花，拓展思维，形成良好的数学思想.本文以一道考题为例，谈谈由本题的教学启示，与同行共勉.

原题呈现

某科研中心规划建一幢员工宿舍楼，因实验过程中有辐射产生，需考虑两项配套工程：①宿舍楼到实验室中间修建一条直路；②对新建宿舍楼做防辐射处理.已知实验室到宿舍楼的直线距离x千米与防辐射费用y万元之间的关系式为，当实验室与宿舍楼的直线距离为1千米时，所需的防辐射费用为720万元；实验室与宿舍楼的直线距离为9千米或大于9千米时，辐射的影响极小，忽略不计，可以不进行防辐射处理.假设修路的费用每公里为m万元，对应的工程费w=防辐射费+修路费.

（1）实验室到宿舍楼的距离x=9千米时，防辐射的费用y=（ ）万元，a=（ ），b=（ ）.

（2）如果修路的费用每公里为90万元，求当宿舍楼到实验室的距离是多少千米时，配套工程费w最少？

（3）若配套工程费低于675万元，且宿舍楼到实验室的距离小于9千米，求修路费用每公里m 万元的最大值是多少.

试题赏析

1.紧扣大纲，以教材为本

乍眼一看，本题很有难度，甚至有超纲的嫌疑，试题中的函数含有根式，让不少学生望而却步.仔细读题后，发现教材中也曾有类似题型出现，问题（1）是运用二元一次方程组来求函数关系式里未知的系数；问题（2）是根据已知条件，构建新的关系式，再求解.由此可见，命题者是以教材为原型，加以生活场景的变化，让学生觉得试题既熟悉又陌生，虽不能用现成的函数模型来解题，但又觉得此题可解.这就要求学生有扎实的知识基础，凸显了数学的实用价值，有效地考查了学生理论联系实际的实践能力.本试题符合新课标所提倡的将数学学习与生活实际相联系的教育理念.

本题紧扣教学大纲与教材原型，却又突破常规地加以变化，既考查了学生基本功的扎实性，又有效地强化了数学知识与技能的实际应用.本题涉及的知识点有二元一次方程组与二次函数的性质等内容；考核的内容有建模、方程、转化与分类讨论等数学思想，有效地考查了学生的理解能力、思维能力、分析能力以及探究能力等.这种设计，让一些只注重题海战术训练，不注重数学思想与解题技巧积累的学生感到无计可施.

2.突破思维定式，实现模型抽象

试题呈现的函数和教材中呈现的函数模型有着明显的差别，这就要求学生通过探究、类比、抽象等方法，结合原有的认知结构，突破思维定式，实现模型抽象.这也给教师提供了一个信息，在试题设计或教学活动中要引导学生经历“问题——探究——验证”的过程，让学生在活动中获得相关的知识与技能，积累经验的同时用心体会模型思想的本质，从而产生创新意识，有效地解决各类问题.

3.由浅入深，渗透模型思想

命题者将问题由浅入深地进行设计，尽可能地降低起点，通过层层递进的方式让不同层次的学生得分，难度系数在0.4左右，具有选拔拉分的功能，适合作为考卷上的最后几题，起到把关作用，又具有渗透建模思想等作用.如第（2）问中呈现的y万元与x千米的关系式y=，决定了w与x的函数关系式是非典型函数1080（0≤x≤9）.学生通过观察、分析得出原来的函数关系式被转化为，如此就将一个陌生的函数转化成熟悉函数的模型.问题（3）对学生的要求就更高了，需从题干中“配套工程费低于675万元” 的条件抽象出关于m的不等式

本题设计的灵魂就在于考查学生的建模思想，第（2）问的函数关系式若转化成功，此题简易；转化失败，此题难解.参考教学大纲对不等式的教学要求，考虑到大部分学生的水平，若将关于m的不等式设计为一元一次不等式会显得更加合理.

教学启发

1.边读边标，边标边思

教师在引导学生解题时，可要求学生首先阅读试题，在读题、审题过程中圈出关键词或条件，思考这些关键词或条件的作用，据此能获得怎样的结论等，并在关键性词语或条件旁作简单的标注.

文章来源：《试题与研究》 网址: http://www.styyjzz.cn/qikandaodu/2021/0223/1044.html