巧用复数三角形式解题

本文以名校强基计划和自主招生计划试题为例,谈复数三角形式的应用.

一、求和式(积式)的值

例1 (2016年北京大学博雅计划试题)设a,b,c为实数,a,c≠0,方程ax2+bx+c=0的两个虚根x1,x2满足为实数,则的值等于( )

(A)1 (B)0

以上都不对

解依题意,可设x1=r(cosθ+isinθ),x2=r(cosθ-isinθ),θ∈[0,2π).由为实数,得

故且由中每相邻3项为一组,计算可得选B.

例2 (2017年清华大学领军计划试题)设则p(ω)p(ω2)p(ω3)p(ω4)等于 ( )

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

解由题设知x5-1=0的5个根为1,ω,ω2,ω3,ω4,且即有

记为x2+x+2=0的两根,则且于是而因此题设所求的p(ω)p(ω2)p(ω3)p(ω4)=11.选C.

评注用复数的代数形式处理乘除运算时,计算量大、过程较为繁琐;利用三角形式可转化为模的乘除与辐角的加减运算,最终化归为熟悉的三角恒等变换与三角函数周期性.

方程xn=1(n∈N*,n≥2)的n个模为1的根称为复数x的n次单位根,这些单位根的次幂具有周期性,且非1的根ω满足等性质,在复数高次计算和实系数和等问题中应用比较广泛.比如

变式1 (2018年清华大学领军计划试题)记(1+x+x2)10=a0+a1x+…+a20x20,则

(A)29(B)219(C)39(D)319

提示依次取变量再求和,可知选C.

变式2 (2016年清华大学领军计划试题)设复数则等于( )

提示利用z3=1,可得z2+z+1=0,易知选C.

二、解决几何问题

例3 (2016年北京大学自主招生试题)设?ABC的三个顶点分别对应复数z1,z2,z3,已知则?ABC的面积与最大边长的平方之比等于( )

前三都不对

解设其中则由条件可知

由余弦定理,得|z2-z3|2=|z2-z1|2+|z3-z1|2-2|z2-z1||z3-z1|cos∠Z2Z1Z3=4|z3-z1|2.故?ABC的最长边为AB,并且|AB|2=5|z3-z1|2.

又故选A.

例4 (2019年北京大学博雅计划试题)复数z1,z2满足|z1-3i|=2,|z2-8|=1,则由复数z1-z2围成图形的面积是( )

(A)4π (B)8π

(C)10π (D)以上全错

解设z1=2cosα+i(2sinα+3),z2=cosβ+8+isinβ,则z1-z2=2cosα-cosβ-8+i(2sinα-sinβ+3).

设z1-z2=x+yi(x,y∈R),则点(x,y)满足(x+8)2+(y-3)2=(2cosα-sinβ)2+(2sinα-sinβ)2=5-4cos(α-β)∈[1,9]. 故复数z1-z2围成图形为圆环,其面积是8π.选B.

变式1 (2020年广西赛区预赛题)已知复数z满足则|z-i|的最小值为______.

变式2 (2019年浙江赛区预赛题)设z1,z2为复数,且满足则|z1-z2|取值为______.

[参考答案：

三、求和角

例5 (2020年清华大学强基试题)______.

解分别为复数1+i,3+i,2+i的辐角主值,则为三个复数辐角主值之和,即为(1+i)(3+i)(2+i)=10i的辐角主值.故

例6 (2020年复旦大学强基考试试题)

以上都不对

解因可视为两锐角α,β之和,取故为复数的辐角主值即

例7 (2020年清华大学强基试题)

以上都不对

解设锐角则同例6,视θ=α-β,可取且则相应锐角θ=.

于是有.

评注求解反三角之和问题等价于复数的辐角之和问题,先转化为复数三角形式下对应复数的乘积,由函数值寻求对应复数的辐角主值是解题的关键.

变式(2016年山东预赛题)______.

四、破解综合问题

例8 (2017年北京大学博雅计划)已知定义f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k≥1,则f2017(2 017)的值为( )

以上都不对

解对应特征方程的特征根为±i.故可得

由fk+1(x)=f(fk(x))可得周期为6,故选C.

例9 (2017年清华大学学术能力测试试题)的值为( )

解化简(cosθ+isinθ)+(cosθ-isinθ)]5,可得又易知

故选A.

评注复数与数列的融合,使得数列递推式所对应特征方程的特征根为复数时,易于求得项之间的相互关系及数列的周期性;而在三角函数中使用时,可将高次三角函数值降阶为低次倍角的运算.

文章来源：《试题与研究》 网址: http://www.styyjzz.cn/qikandaodu/2021/0717/1785.html